¿Cómo realizar operaciones aritméticas en Linux?

Para números enteros utiliza la expansión $((EXPR))

num1=1              
num2=5              
num=$((num1 + num2))
echo $num

Mediante la calculadora bc

num=$(echo $num1 + $num2 | bc)
echo $num

Mediante la utilidad expr

num=expr $num1 + $num2
echo $num